在强化教材分析的基础上优化教学设计

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摘要：【摘 要】教学内容分析的基本点通常有内容的现实与文化背景、表征方式、探索路径等，通过对教材内容的多角度分析，可以设计出自然地发现与提出问题、自然地发现解决问题思路的思维过程，从而进一步启迪我们设计出符合数学本质和认知规律的教学过程。 【关键

　　【摘 要】教学内容分析的基本点通常有内容的现实与文化背景、表征方式、探索路径等，通过对教材内容的多角度分析，可以设计出自然地发现与提出问题、自然地发现解决问题思路的思维过程，从而进一步启迪我们设计出符合数学本质和认知规律的教学过程。

　　【关键词】教材分析;教学设计;问题情境;数学审美

　　作者：石志群

　　发展学生数学核心素养是2017年版高中数学课程标准提出的要求，而数学基础知识因其经典性、基础性成为实现这一目标的重要载体。笔者认为，对教材中的基本内容进行强化分析、深化认识、把握本质是提高教学设计水平，发展学生数学素养的根本途径。本文以“等差数列前n项和”为例对此作初步探索。

　　一、内容基本点分析

　　笔者先对本节内容的三个基本点作梳理。

　　1.问题情境。

　　等差数列的问题情境通常有两类：现实情境和文化情境。

　　问题的现实情境较多，常见的有：

　　①花坛有若干层，各层花盆数依次成等差数列，求花坛上花盆总数(类似的，货架上货物总数的计算，求一堆钢管总数等);

　　②单利存款，本利总和;

　　③从材料工地运送电线杆到500米以外的公路的同一旁埋设，每隔50米在路边埋一根。已知每次只能运3根，要完成运24根电线杆的任务，并返回材料工地，问运输车的行程是多少米?

　　文化情境有：

　　①毕达哥拉斯学派的“三角形数”;

　　②高斯的故事;

　　③中国古代的“垛积术”(高阶等差數列求和)中最基础的数列——等差数列。

　　创设的问题情境既要能提出本节课要研究的问题，又要能与推导方法产生思维的链接，还要尽量避免过分的 “启发”，否则使学生由情境本身直接知晓推导方法，会掩盖思维的过程。当然，情境不宜复杂，以免冲淡主题，加大学习难度，要以简单而蕴含本质的情境引入，促使学生比较容易地提出本节课的研究问题(主题)。换言之，情境的创设要力求入口浅、寓意深。

　　2.等差数列的表征方式。

　　数学对象的表征方式对数学思维活动起着一定的启发、诱导作用，善于运用不同方式对数学对象进行表征，并由表征方式产生联想是一种重要的数学素养。

　　等差数列是一种基础的、重要的数列模型，从数学史看，其表征方式主要有——

　　(1)定义表征：an-an-1=d(n∈N*，n≥2)。

　　(2)代数表征：通项公式an=a1+(n-1)d，或函数形式an=an+b。

　　(3)几何表征有3种：形数表征，如三角形数、四边形数等(见图1);图象表征，即一次函数中自变量取正整数的点列(见图2);面积表征，即分别以公差d为底边(在x轴上)，以an为另一条边(有向线段)构成的系列矩形(见图3)。

　　[(图3)][(图2)] [O][x][y] [O][x][y]

　　3.探索路径。

　　基于等差数列的代数和几何表征，可得到两种探索等差数列前n项和的思路。

　　(1)代数表征下的思路。由配对法，将所对应的式子保持其“结构”。对于1+2+3+4+…+100而言，1+2+3+4+…+100=(1+100)×[1002];对于首项为a1，公差为d的等差数列{an}，当n为偶数时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a[n2]+a[n2]+1)=(a1+an)[n2];当n为奇数时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a[n-12]+a[n+32])+a[n+12]=(a1+an)[n-12] + [a1+an2] = (a1+an)[n2] 。

　　无论n是奇数还是偶数，等式的形式是一样的，我们得到了等差数列的前n项和为Sn= (a1+an)[n2] 。

　　以上思路还是比较自然的，难点是如何自然地链接到本节课的核心内容——“倒排相加法”。关于这一点，可从几何表征的思路中获得启发。

　　(2)几何表征下的思路。对于图1，就是求图中点的总数。在此处可以引导学生联想几何中是如何求三角形的面积的。于是“补形”的思路就自然出现了(即用一个全等的三角形“倒扣”上去，补成一个平行四边形，图略)。

　　与此类似地处理图2、图3，将不“规则”的图形补成规则的图形，将未解决的图形补成已经解决了的图形。这里的“补形”体现的就是“倒排相加”的思想，将变化着的项的求和转化为常数列的求和。因此，只要将图形意义用代数符号表示出来，就能自然地得到倒排相加法。

　　如何解决代数表征下引导学生自然地想到倒排相加的方法呢?

　　比较简便的方式就是“数形联想”：Sn= (a1+an)[n2]的几何意义(或几何表征)是什么?也就是引导学生思考：这个公式使我们想到了什么?很显然，这是梯形面积公式的结构形式，于是，将梯形补成平行四边形的思路自然就产生了。

　　此外，还可以从数学审美的角度反思求1+2+3+…+100的过程，配对法的思维过程是：

　　首项与末项的和：1+100=101

　　第2项与倒数第2项的和：2+99=101

　　第3项与倒数第3项的和：3+98=101

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　　第50项与倒数第50项的和：50+51=101

　　所以，S100=(1+100)×[1002]=5050。

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