本文研究一类非对称非局部扩散时滞系统(可非拟单调)的单稳行波解。首先，通过构造一对具有拟单调性的上、下辅助系统，将行波解的存在性转化为非线性算子的不动点问题，进而分别利用Schauder不动点定理和极限论证，建立非临界波速与临界波速下单稳行波解的存在性;其次，借助分析技巧与Ikehara Tauberian定理，讨论单稳行波解的不存在性及渐近行为;最后，通过具体例子与数值模拟验证所得理论结果。
论文《一类非对称非局部扩散时滞系统的单稳行波解》发表在《应用数学学报》，版权归《应用数学学报》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
关键词：非对称核;行波解;存在性;时滞
1 引言
非局部扩散方程在物理、生物等领域具有广泛应用[19]。其中，传统的Laplace算子描述局部扩散，而非局部扩散常通过卷积形式刻画，即：
$$(mathcal{J} * u u)(x, t) = int_{mathbb{R}} mathcal{J}(x y)u(y, t)dy u(x, t)$$
式中，$mathcal{J}(x y)$ 表示从点 $y$ 到 $x$ 的概率密度函数，且满足 $int_{mathbb{R}} mathcal{J}(y)dy = 1$。
近年来，非局部扩散与时间滞后耦合的系统(如生物种群扩散、传染病传播模型)成为研究热点[59]。当时滞效应通过非局部项体现时(如 $H(x, t) = delta(t au) cdot h(x)$，其中 $delta(cdot)$ 为Dirac函数，$h(cdot)$ 满足 $int_{mathbb{R}} h(y)dy = 1$)，系统可简化为含时滞的空间非局部模型。
本文聚焦如下非对称非局部扩散时滞系统：
其中，$u_1(x,t)$、$u_2(x,t)$ 分别表示时刻 $t$、位置 $x$ 处的两类种群密度;$mathcal{J}_1, mathcal{J}_2$ 为非对称扩散核;$h(cdot)$、$g(cdot)$ 为增长函数;$mu_1, mu_2 > 0$ 为衰减系数。
已有研究中，Coville[1011]讨论了单稳非线性项下行波解的存在性与最小波速;Li与Xu[12]结合Pan[4]的方法与Ikehara Tauberian定理，分析了非局部系统的行波解;Yang[17]进一步推广上述结果，考虑核函数的非对称性。然而，现有工作多局限于拟单调系统，对非拟单调系统的研究仍不充分。
本文通过构造拟单调辅助系统，突破非拟单调的限制，系统分析式(6)的行波解存在性、不存在性及渐近行为，并通过数值例子验证理论结论。
2 预备知识与假设条件
2.1 核函数与非线性项假设
本文对扩散核 $mathcal{J}_i(x)$、$mathcal{G}_i(x)$(时滞非局部项核)及非线性项 $f_i(cdot)$ 提出以下假设：
$(P_1)$ 扩散核正则性：对任意 $x in mathbb{R}$，$mathcal{J}_i(x) in C^1(mathbb{R})$，非负且满足 $int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(x)dx = 1$($i=1,2$)。
$(P_2)$ 核的指数矩条件：存在常数 $a_i < 0 < b_i$，使得对任意 $lambda in (a_i, b_i)$，有 $1 leq int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(x)e^{lambda x}dx < +infty$，且 $lim_{lambda o a_i^+} int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(x)e^{lambda x}dx = +infty$，$lim_{lambda o b_i^} int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(x)e^{lambda x}dx = +infty$($i=1,2$)。
$(P_3)$ 时滞核条件：对任意 $x in mathbb{R}$，$mathcal{G}_i(x) in C^1(mathbb{R})$，非负且满足 $int_{mathbb{R}} mathcal{G}_i(x)dx = 1$;对 $lambda in (a_i, b_i)$，有 $int_{mathbb{R}} mathcal{G}_i(x)e^{lambda x}dx geq 1$($i=1,2$)。
$(P_4)$ 非线性项光滑性与平衡点：$f_i in C^2(mathbb{R}_+^2, mathbb{R})$，存在正平衡点 $E = (E_1, E_2) gg 0$，使得 $f_i(0) = f_i(E) = 0$;在 $0$ 与 $E$ 之间，$f_i$ 非负($i=1,2$)。
$(P_5)$ 交叉导数符号：$partial_j f_i(0,0) > 0$($i
eq j$)，即两类种群存在正相互作用。
$(P_6)$ 特征方程根条件：当 $Delta(lambda, c) = 0$ 时，$M_1(eta, eta, c)M_2(eta, eta, c) leq 0$，其中 $lambda = eta + eta i$($i$ 为虚数单位)，$eta in (0, lambda_1(c)]$，$eta in [N_1, N_1]$($N_1$ 充分大)，$M_j = int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(y)e^{eta y}sin(eta y)dy + ceta$($j=1,2$)。
$(P_7)$ 拟单调逼近条件：存在常数 $E^pm = (E_1^pm, E_2^pm)$($0 < E_i^ leq E_i leq E_i^+$)，及光滑函数 $f_i^pm: [0, E^+] o mathbb{R}$，满足：
(i) $f_i^pm in C^2([0, E^+], mathbb{R})$，平衡点为 $E^pm$，且在 $0$ 与 $E^pm$ 之间非负;
(ii) 对 $1 leq i
eq j leq 2$ 及 $(u_1, u_2) in [0, E_1^+] imes [0, E_2^+]$，有 $partial_i f_i^pm(0,0) < 0$，$partial_i f_i^pm(E^pm) < 0$，$partial_j f_i^pm(u_1, u_2) geq 0$;
(iii) $partial_1 f_1^pm(0,0)partial_2 f_2^pm(0,0) < partial_2 f_1^pm(0,0)partial_1 f_2^pm(0,0) c au_1int_{infty}^0 mathcal{G}_1(z)dz c au_2int_{infty}^0 mathcal{G}_2(z)dz$;
(iv) 对 $(u_1, u_2) in [0, E^+]$，$f_i^(u_1, u_2) leq f_i(u_1, u_2) leq f_i^+(u_1, u_2)$。
$(P_8)$ 强行波条件：当 $u_1 in [E_1^, E_1)$ 或 $u_2 in [E_2^, E_2)$ 时，$f_1(u_1, u_2) > 0$ 且 $f_2(u_1, u_2) > 0$;当 $u_1 in (E_1, E_1^+]$ 或 $u_2 in (E_2, E_2^+]$ 时，$f_1(u_1, u_2) < 0$ 且 $f_2(u_1, u_2) < 0$。
2.2 行波系统转化
设行波解形式为 $u_1(x, t) = varphi(xi)$，$u_2(x, t) = psi(xi)$，其中 $xi = x + ct$($c$ 为波速)。代入式(6)，得行波系统：
边界条件：
3 行波解的存在性分析
3.1 特征方程与临界波速
定义特征方程分量：
$$Delta_i(lambda, c) = int_{mathbb{R}} mathcal{J}_i(y)e^{lambda y}dy 1 + partial_i f_i(0,0) clambda quad (i=1,2)$$
易知 $Delta_i(lambda, c) = 0$ 存在负实根 $lambda_i^$ 与正实根 $lambda_i^+$。令 $lambda_m^c = min{lambda_1^+, lambda_2^+}$，定义最小波速：
$$c_* = infleft{c > 0 mid Delta(lambda, c) = 0 ext{ 在 } lambda in (0, lambda_m^c) ext{ 内有两个正实根}
ight}$$
引理1：若 $(P_1)(P_5)$ 成立，则当 $lambda in (0, lambda_m^c)$ 时，$Delta(lambda, c) = 0$ 存在正实根的充要条件为 $c geq c_*$。
3.2 拟单调辅助系统构造
为处理非拟单调项，构造上辅助系统：
及下辅助系统：
设 $c_{*(上)}$、$c_{*(下)}$ 分别为辅助系统(10)、(11)的最小波速，定义 $c^* = max{c_*, c_{*(上)}, c_{*(下)}}$。
3.3 非临界波速下行波解存在性($c > c^*$)
命题2：若 $(P_1)(P_6)$ 成立且 $c geq c^*$，则上系统(10)的解 $ar{Phi}(xi) = (ar{varphi}(xi), ar{psi}(xi))$ 满足：
当 $c = c^* = c_*$ 时，$lim_{xi o infty} frac{(ar{varphi}(xi), ar{psi}(xi))}{|xi|e^{lambda_1(c_*)xi}} = (1, ar{d}_1)$;
当 $c > c^*$ 时，$lim_{xi o infty} frac{(ar{varphi}(xi), ar{psi}(xi))}{e^{lambda_1(c)xi}} = (1, ar{d}_1)$;
当 $c geq c^*$ 时，$lim_{xi o +infty} frac{E^+ (ar{varphi}(xi), ar{psi}(xi))}{e^{lambda_0(c)xi}} = (ar{d}_2, ar{d}_3)$，
其中 $ar{d}_1, ar{d}_2, ar{d}_3 > 0$，$lambda_0(c) < 0$ 为特征方程负根。
定理1(非临界波速存在性)：若 $(P_1)(P_7)$ 成立，则当 $c > c^*$ 时，系统(7)(8)存在行波解 $Phi(xi) = (varphi(xi), psi(xi))$，满足 $lim_{xi o infty} Phi(xi) = 0$;若进一步满足 $(P_8)$，则 $lim_{xi o +infty} Phi(xi) = E$。
证明思路：
1. 定义函数空间 $X_lambda = {Phi in C(mathbb{R}, mathbb{R}^2) mid sup_{xi in mathbb{R}} |Phi(xi)|e^{lambda xi} < +infty}$，范数 $|Phi|_lambda = sup_{xi in mathbb{R}} |Phi(xi)|e^{lambda xi}$;
2. 构造算子 $mathcal{F}(Phi) = (mathcal{F}_1(Phi), mathcal{F}_2(Phi))$ 与 $T(Phi) = (mathcal{F}(Phi) +
ho Phi)/c$($
ho > 1 + max|partial_i f_i|$)，证明 $T$ 在凸锥 $Gamma(ar{Phi}, underline{Phi}) = {Phi mid underline{Phi} leq Phi leq ar{Phi}}$ 上全连续;
3. 由Schauder不动点定理，$T$ 存在不动点 $Phi$，即系统(7)的解;
4. 结合 $(P_8)$ 与极限分析，验证 $lim_{xi o +infty} Phi(xi) = E$。
3.4 临界波速下行波解存在性($c = c^*$)
定理2(临界波速存在性)：若 $(P_1)(P_8)$ 成立，则当 $c = c^* = c_*$ 时，系统(7)(8)存在行波解 $Phi(xi) = (varphi(xi), psi(xi))$。
证明思路：
1. 取递减序列 $c_n o c^*$($c_n > c^*$)，由定理1，每个 $c_n$ 对应行波解 $Phi_n(xi) = (varphi_n(xi), psi_n(xi))$;
2. 利用ArzelaAscoli定理，证明 ${Phi_n}$ 与 ${Phi_n'}$ 相对紧，存在收敛子列 $Phi_{n_k} o Phi$;
3. 极限传递得 $Phi$ 满足 $c = c^*$ 时的系统(7)(8)，即临界波速解。
4 行波解的不存在性($0 < c < c_*$)
引理4：若 $(P_1)(P_8)$ 成立，且 $(varphi(xi), psi(xi))$ 是系统(7)(8)的非负连续解，则存在常数 $Q > 0$ 与 $0 < mu < min{b_1, b_2}$，使得 $varphi(xi) leq Qe^{mu xi}$，$psi(xi) leq Qe^{mu xi}$。
证明：
由 $partial_i f_i(0,0) < 0$ 与 $partial_j f_i(0,0) > 0$($i
eq j$)，存在小常数 $delta_1, delta_2 > 0$，使得当 $ ilde{u}_1 in [0, delta_1]$、$ ilde{u}_2 in [0, delta_2]$ 时，$partial_i f_i( ilde{u}_1, ilde{u}_2) < 0$，$partial_j f_i( ilde{u}_1, ilde{u}_2) > 0$。结合边界条件(8)，当 $xi < R$($R$ 充分大)时，$varphi(xi) leq delta_1$，$psi(xi) leq delta_2$。
对 $xi < R N_3 + c au_i$($N_3$ 为 $mathcal{G}_i$ 的支撑半径)，积分系统(7)并利用微分中值定理，可得指数估计。
定理3(不存在性)：若 $(P_1)(P_8)$ 成立，则当 $0 < c < c_*$ 时，系统(7)(8)不存在非负行波解。
证明：
假设存在解 $Phi(xi)$，由引理4，定义Laplace变换 $U_i(lambda) = int_{mathbb{R}} varphi_i(xi)e^{lambda xi}dxi$($0 < ext{Re}lambda < mu$)。对系统(7)两边乘 $e^{lambda xi}$ 并积分，得：
当 $0 < c < c_*$ 时，$Delta(lambda, c) = 0$ 在 $lambda > 0$ 内无实根，与 $U_i(lambda)$ 的解析性矛盾，故解不存在。
5 行波解的渐近行为
定理4(渐近行为)：若 $(P_1)(P_8)$ 成立，且 $Phi(xi) = (varphi(xi), psi(xi))$ 是 $c geq c^*$ 时系统(7)(8)的解，则存在 $k_1, k_2, k_3 > 0$，$lambda_0(c) < 0$，$lambda_1(c) > 0$，使得：
1. 当 $c = c^* = c_*$ 时，$lim_{xi o infty} frac{(varphi(xi), psi(xi))}{|xi|e^{lambda_1(c_*)xi}} = (1, k_1)$;
2. 当 $c > c^*$ 时，$lim_{xi o infty} frac{(varphi(xi), psi(xi))}{e^{lambda_1(c)xi}} = (1, k_1)$;
3. 当 $c geq c^*$ 时，$lim_{xi o +infty} frac{E (varphi(xi), psi(xi))}{e^{lambda_0(c)xi}} = (k_2, k_3)$。
证明：
1. 引入辅助函数 $ ilde{Phi}(xi) = (varphi(xi)e^{l_1xi}, psi(xi)e^{l_2xi})$($l_1, l_2 > 0$)，证明 $ ilde{Phi}'(xi) geq 0$，即 $Phi(xi)$ 具有指数增长趋势;
2. 对 $xi o infty$，利用Ikehara Tauberian定理，结合特征方程根的性质，得指数渐近式;
3. 对 $xi o +infty$，令 $ ilde{u}_i(xi) = E_i varphi(xi)$，转化为零平衡点附近的线性化分析，得衰减渐近式。
6 左传播行波解($xi = x + ilde{c}t$)
考虑系统从 $x$ 轴左侧传播的行波解，设 $u_1(x, t) = hat{varphi}(xi)$，$u_2(x, t) = hat{psi}(xi)$，$xi = x + ilde{c}t$($ ilde{c}$ 为左传播波速)。代入式(6)得行波系统：
边界条件：
结论：当 $ ilde{c} geq hat{c}^* = max{hat{c}_*, hat{c}_{*(上)}, hat{c}_{*(下)}}$ 时，左传播行波解存在;当 $ ilde{c} < hat{c}_*$ 时，解不存在，且渐近行为与右传播解类似(定理4)。
7 数值例子与模拟
7.1 例子1：非拟单调系统
考虑如下具体系统：
其中，$mathcal{J}_i(x) = frac{1}{4}e^{|x|/2}$，$mathcal{G}_i(x) = frac{1}{2}e^{|x|}$(满足 $(P_1)(P_3)$);平衡点 $E = (1, 1)$，非线性项满足 $(P_4)(P_8)$。
计算结果：
最小波速 $c_* = 3.09$，对应特征根 $lambda(c_*) = 1.06$;
上辅助系统最小波速 $c_{*(上)} = 3.39$，下辅助系统 $c_{*(下)} = 2.31$;
临界波速 $c^* = max{3.09, 3.39, 2.31} = 3.39$。
数值模拟：当 $c = 3.5 > c^*$ 时，行波解 $varphi(xi)$、$psi(xi)$ 从 $(0,0)$ 单调递增至 $(1,1)$，与理论结论一致(图1)。
7.2 例子2：传染病模型
考虑时滞非局部扩散传染病系统：
其中，$u_1$ 为易感者密度，$u_2$ 为感染者密度，$ au = 0.4$。
计算结果：
临界波速 $c^* = 3.02$，对应特征根 $lambda(c_*) = 1.05$;
模拟显示，当 $c = 3.1 > c^*$ 时，行波解平稳传播，感染者密度滞后于易感者密度(图2)。
8 结论
本文通过拟单调辅助系统与不动点定理，解决了非对称非局部扩散时滞系统(非拟单调)的单稳行波解存在性问题，明确了临界波速 $c^*$ 的刻画，并通过Ikehara Tauberian定理揭示行波解的渐近行为。数值例子验证了理论结果的有效性，为非局部扩散系统的传播动力学研究提供了新方法。
未来可进一步推广至高维空间或多物种相互作用系统，探索非对称核与多时滞的耦合效应。
参考文献
[1] Zhang G B. Nonmonotone traveling waves and entire solutions for a delayed nonlocal dispersal equation. Applicable Analysis, 2017, 96(11): 1830–1866.
[2] Yang W M, Liao S, Fang F. Traveling waves in a nonlocal dispersal cholera model. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2021, 44(3): 441–458.(杨卫敏, 廖帅, 方芳. 非局部扩散霍乱模型的行波解. 应用数学学报, 2021, 44(3): 441–458.)
[3] Carr J, Chmaj A. Uniqueness of traveling waves for nonlocal monostable equations. Proceedings of the American Mathematical Society, 2004, 132(8): 2433–2439.
[4] Pan S X, Li W T, Lin G. Traveling wave fronts in nonlocal delayed reactiondiffusion systems and applications. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 2009, 60(3): 377–392.
[5] Zhang S P. Traveling wave solutions for two classes of diffusion systems with nonlocal dispersal and delay. Master Thesis, Lanzhou Jiaotong University, 2017.(张思鹏. 两类非局部扩散时滞系统的行波解. 硕士学位论文, 兰州交通大学, 2017.)
[6] Xia J, Yu Z X, Yuan R. Traveling waves of a competitive LotkaVolterra model with nonlocal diffusion and time delays. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2011, 34(6): 1082–1093.(夏静, 余志先, 袁锐. 非局部扩散时滞竞争LotkaVolterra模型的行波解. 应用数学学报, 2011, 34(6): 1082–1093.)
[7] Britton N F. Aggregation and the competitive exclusion principle. Journal of Theoretical Biology, 1989, 136(1): 57–66.
[8] Britton N F. Spatial structures and periodic traveling waves in an integrodifferential reaction diffusion population model. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1990, 50(6): 1663–1688.
[9] Smith H L, Thieme H R. Strongly order preserving semiflows generated by functional differential equations. Journal of Differential Equations, 1991, 93(2): 332–363.
[10] Coville J. Traveling fronts in asymmetric nonlocal reaction diffusion equation: The bistable and ignition case. Prepublication du CMM, 2007, Hal00696208.
[11] Coville J, Davila J, Martinez S. Nonlocal anisotropic dispersal with monostable nonlinearity. Journal of Differential Equations, 2008, 244(12): 3080–3118.
[12] Li W T, Xu W B, Zhang L. Traveling waves and entire solutions for an epidemic model with asymmetric dispersal. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2017, 37(5): 2483–2512.
[13] Zhang G S, Wang Y F. Traveling waves of nonlocal isotropic and anisotropic diffusive epidemic models with temporal delay. Journal of Dynamical and Control Systems, 2012, 18(2): 229–246.
[14] Sun Y J, Zhang L, Li W T, et al. Entire solutions in nonlocal monostable equations: Asymmetric case. Communications on Pure and Applied Analysis, 2017, 18(3): 1049–1072.
[15] Zhang L, Li W T. Propagation dynamics of an anisotropic nonlocal dispersal equation with delayed nonlocal response. Applied Mathematics Letters, 2021, 120: 107327.
[16] Hu R Y. Propagation phenomena for an epidemic model with nonlocal dispersal: Bistable case. Master Thesis, Lanzhou University, 2020.(胡若妍. 非局部扩散传染病模型的传播现象：双稳情形. 硕士学位论文, 兰州大学, 2020.)
[17] Yang L. Investigations on traveling waves for two kinds of epidemic systems with delay and nonlocal dispersal. Master Thesis, Lanzhou Jiaotong University, 2022.(杨乐. 两类时滞非局部扩散传染病系统的行波解研究. 硕士学位论文, 兰州交通大学, 2022.)
[18] Wu J H, Zou X F. Traveling wave fronts of reactiondiffusion systems with delay. Journal of Dynamics and Differential Equations, 2001, 13(3): 651–687.
[19] Ma S W. Traveling waves for nonlocal delayed diffusion equations via auxiliary equations. Journal of Differential Equations, 2007, 237(2): 259–277.
[20] Yang F Y, Li W T, Wang J B. Wave propagation for a class of nonlocal dispersal noncooperative systems. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section AMathematics, 2019, 150(4): 1–33.
