复变函数教学工作中解析函数的概念及其应用

来源：核心期刊咨询网核心期刊论文2014-05-12 11:371

摘要：关键词：复变函数，解析函数，调和函数，教学透析 摘要：解析函数是复变函数研究的主要内容，它具有重要的性质和广泛应用。如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质,是学生在学习复变函数这门课程的关键所在，也是老师在教学过程中的重要工作。论文较全

　　关键词：复变函数，解析函数，调和函数，教学透析

　　摘要：解析函数是复变函数研究的主要内容，它具有重要的性质和广泛应用。如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质,是学生在学习复变函数这门课程的关键所在，也是老师在教学过程中的重要工作。论文较全面深刻的透析了解析函数的相关概念，性质及应用。并结合本人在教学工作的体验，阐述了如何在教学工作中较好的贯穿这些内容的讲授。

　　中图分类号：O174.5

　　复变函数课程是工科专业尤其是电子、计算机、机电等专业的必修课。它是高等数学课程的发展和延续，它将函数定义域的范围从高等数学里的实数域推广到了复数域。复变函数与实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多不同之点。在学习过程中学生往往觉得复变函数比实变函数更抽象，原理、规律更加繁多。加之教学安排课时往往比高等数学少得多，因此在课程结束后很多学生仍然是一无所获。如何从根本上解决复变函数教学中的诸多类似问题，是教师需要解决的问题。

　　我们知道复变函数的主要内容是研究解析函数，这类函数有着重要的性质和广泛的运用。因此如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质,是学生在学习复变函数这门课程的关键所在，也是老师在教学过程中的重要工作。针对工科学生，本文从以下几个方面较全面深刻的透析了解析函数的相关概念，性质及应用。并结合本人在教学工作的体验，阐述了如何在教学工作中较好的贯穿这些内容的讲授。仅供探讨。

　　一．理解解析函数的定义及判别

　　复变函数是定义一类复数集合到另一类复数集合的映射关系。而解析函数则是定义在某一复数域内处处可微的复变函数。复函数不管在某一点解析还是在某个复数集合内解析，都对某个区域内处处可微。因此复函数可微并不等价于函数解析，除非是对某个区域而言，这与实函数可微性有很大的区别。

　　定义1：设函数定义于区域且。如果极限存在，那么我们说在内处处可导。由于是区域，所以在内处处解析。对于某一固定的点，在点可导。由于存在的某个邻域，所以我们可以说在点是解析的。

　　如果将复变函数写成两个二元实函数的形式,从上面的定义经过简单的推导，我们不难发现区域内的解析函数所对应的有着某些特殊的性质和关系。因此我们也可以从的角度判别函数是否解析。

　　定理2：函数在区域内处处解析等价于：（1）在内处处可微（2），在内处处成立，即柯西-黎曼方程。

　　在定理2的条件下。另一方面一个复函数又可以写成极坐标的形式，利用直角坐标与极坐标的关系，可以得到定理2的如下另一种形式且函数导数可以写成。

　　定理2*：函数在区域内处处解析等价于：（1）在内处处可微（2），在内处处成立。

　　由上面的定理可知，解析函数所对应的两个二元实函数是非独立的。在应用这些定义或定理解决问题时，很多同学往往只记住了定理2的形式，对于一些特殊的问题他们往往忽视定理2*带来的方便。比如证明对数函数的解析性时，如果直接利用定义或者定理2就会显得相当繁琐。如果我们将对数函数写成极坐标的形式，然后根据定理2*很容易可以验证任一分支在除原点及负实轴的复平面域内处处解析，且。透彻理解解析函数的定义，灵活运用不同的方法判别函数的解析性，是研究解析函数最重要的基础。

　　二．解析函数的微分性质

　　一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数。这一点与实变函数完全不同。解析函数高阶导数存在的证明则不能通过上面的定义和定理来得到，而是根据解析函数的积分性质来推得。由解析函数的无穷次可微性，我们进一步可以知道二元函数有着更好的性质和更为特殊的关系。例如由处处可导，可知所有一次偏导数仍然处处可微且满足柯西-黎曼方程，进而可以看到均为调和函数。类此做下去，我们可以了解更多关于高阶偏导数的性质。利用解析函数具有高阶导数这一性质，还可以得到许多有趣的结论，例如刘维尔定理，积分均值定理，以及代数学基本定理等等。由此可见解析函数有着特殊的性质，是解决许多问题的有力工具。这些应用往往可以激发学生学习的兴趣和探索研究的动力。

　　三．解析函数的积分性质

　　复变函数中的积分大致可以分为两类：一是与解析函数有关的积分，二是完全不解析函数的积分。对于第二类积分只有通过二元线积分或参数积分来计算。而更多的积分则属于第一类。关于第一类积分，教科书上有许多相关的定理和结论。如何理解并熟练运用这些定理结论，是很多学生头疼的问题。为了让学生们容易记忆，我们可以将教课书上的积分定理总结成如下几种情况：

　　(1)有界连通区域上的解析函数在其边界上的积分值等于零;

　　(2)有界连通区域上的解析函数在其区域内任意一点的(可取任意非负整数)次导数值等于函关于的次导数沿区域边界上的积分。

　　从第一句话，学生很容易就可以想到：柯西-古莎定理)，复合闭路定理。从第二句，我们可以按取不同的非负整数以及区域是单连通或多连通的不同情况，得到不同区域情况下的柯西积分公式，高阶导数公式。特别的，如果区域是以为圆心的圆域且，则由相应的积分公式可以推导出积分均值定理即：，进而可知均有相应的平均值积分公式，例如。

　　(3)如果函数在积分区域内只有有限个奇点，且上面两点不能解决的话，我们还可以用留数去计算。

　　当然在教学过程中，我们不能让学生简单机械的去记忆这些结论，而是要让他们能够理解每句话的内涵，只有这样才能在解决实际问题时，做到有的放矢游刃有余。

　　四．解析函数的级数性质

　　复变函数如果在某个圆域或者圆环域内处处解析，那么该函数在圆域或者圆环域内任意一点的函数值，可以写成以圆(环)心为中心的级数形式。由函数不同的解析性，对应有泰勒级数或者洛朗级数。这章节对于很多学生来说是个难点。在教学过程中我们首先要让学生能够确定函数展开所对应的中心点以及相应的圆(环)域，必须让他们知道函数在所确定的圆(环)域内是处处解析的。其次必须记住一些基本解析函数的级数形式，能够套用这些公式解决一些复杂的函数。最后还需要了解收敛级数的一些基本性质，以此来解决更多的问题。级数是研究函数的有力工具，因此掌握并理解这部分内容对于我们透彻掌握解析函数尤为重要。

　　五．解析函数的保角性

　　复变函数从几何上来讲，可以解释为两个复平面内点集之间的变换。而由解析函数所构成的变换有着一些重要的特性。例如保角性，即：若函数在某一点解析，则过该点的任意两曲线的夹角在经过该函数映射后保持方向和大小不变。它在解决流体力学，弹性力学，电学等学科的一些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的重要方法。对于工科学生，老师可以让他们自学这部分的知识，并通过实际问题的解决使学生觉得学有所用。

　　六．解析函数的应用

　　由于工科教学课时较短，复变函数的应用在教学中往往涉及很少。这让很多学生觉得学习该课程枯燥，不实用。其实复变函数有许多重要的应用，如果我们能够在教学过程中适当贯穿一些应用实例，往往有助于我们提高教学效率和学生的学习兴趣。这里主要介绍几点与解析函数相关的应用。

　　在流体力学中，一个解析函数，其实部二元函数在流体力学中可表示某一平面流动的势函数，可以表示该流动的流函数。由此可以得到该流动的速度场，由函数的解析性得，，由此可见流场是一个无旋无源场，该解析函数也称为流场的复势。

　　在平面电场中，电通和电位都是调和函数，而且电力线和互相正交。这种性质正好和一个解析函数的实部和虚部具有的性质符合。因此在研究平面电场时，常用一个解析函数表示电场的复电位势。

　　参考文献：

　　[1]复变函数论，钟玉泉，高等教出版社1999。

　　[2]复变函数，西安交通大学高等数学教研室，高等教育出版社2009。